Física

Esquema de tópicos/temas

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  Competencias para cursar Mecánica Clásica: Algebra y Trigonometría.

  Capitulo IV. Productos y Cocientes Notables. Baldor, 2015

  I. PRODUCTOS NOTABLES

  Se llaman PRODUCTOS NOTABLES a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.

  CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES

  Elevar al cuadrado a+b equivale a multiplicar este binomio por si mismo y tendremos:   

  Efectuando este producto tenemos:                    

  luego, el cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad mas el doble de la primera cantidad por la segunda mas el cuadrado de la segunda

  ejemplo:

  Desarrollar 

  Cuadrado del primero....................................................... 

  Doble del primero por el segundo............................... 

  Cuadrado del segundo...................................................... 16

  Luego                                                 

  CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES   

  Elevar (a-b) al cuadrado equivale a multiplicar esta diferencia por si misma; luego:                                                       

     Efectuando este producto, tendremos        

  Luego, el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda mas el cuadrado de la segunda cantidad

  ejemplo:

  

  PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

  Sea el producto (a+b) (a-b)

   Efectuando esta multiplicación, tenemos.  

  luego, la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado el minuendo(en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo

  ejemplo:

  

  CAPITULO VIII. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA. Baldor, 2015

  RESULUCION DE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITAD

  REGLA GENERAL

  1) Se efectúan las operaciones indicadas, si las hay.

  2) Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas

  3) Se reducen términos semejantes en cada miembro

  4) Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita 

  ejemplo:

  1) Resolver la ecuación 3x-5=x+3

  pasando x al primer miembro y -5 al segundo, cambiándoles los signos, tenemos

  3x-x=3+5

  reduciendo términos semejantes:   2x=8

  Despejando x para lo cual dividimos        

  los dos miembros de la ecuación entre     

  2 tenemos:                            

  VERIFICACION

  La verificación es la prueba de que el valor obtenido para la incógnita es correcto.

  La verificación se realiza sustituyendo en los dos miembros de la ecuación dada

  la incógnita por el valor obtenido, y si este es correcto, la ecuación dada se convertirá en

  identidad.

   Así, en el caso anterior, haciendo x=4 en la cual          

  El valor x=4 satisface la ecuación

  2) Resolver la ecuación 35-22x+6-18x=14-30x+32

  pasando -30x al primer miembro y 35 y 6 al segundo

   Reduciendo:

  dividiendo entre -5       

  Despejando x para lo cual dividimos ambos miembros entre 2         

  VERIFICACION 

  

  CAPITULO XXIV. ECUACIONES SIMULTANEAS DE PRIMER GRADOCON DIS INCOGNITA. Baldor, 2015.

  SISTEMA DE ECUACIONES  es la reunión de dos o mas ecuaciones con dos o mas incógnitas.
  

  Así.                                             

  es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

  Solución de un sistema de ecuaciones es un grupo de valores de las incógnitas

  que satisface todas las ecuaciones del sistema. La solución del sistema anterior es x=2, y =3 

  Un sistema de ecuaciones es posible o compatible cuando tiene solución y es

  imposible o incompatible cuando no tiene solución. 

  Un sistema compatible es determinado cuando tiene una sola solución e indeterminado

  cuando tiene infinitas soluciones.

  SISTEMAS DE DOS ECUACIONES SIMULTANEAS DE PRIMER GRADO 
  

  CON DOS INCOGNITAS.

  RESOLUCION 

  Para resolver un sistema de esta clase es necesario obtener de las dos ecuaciones dadas una 

  sola ecuación con una incógnita. Esta se llama eliminación.

  METODOS DE ELIMINACION MAS USUALES

  Son tres: método de igualación, de comparación y de reducción, también llamado este 

  ultimo de suma o resta.

  I. ELIMINACION POR IGUALACION

  Resolver el sistema 

  Despejemos una cualquiera de las incógnitas, por ejemplo, en ambas ecuaciones.

  despejando x en (1):    

  Despejando x en (2):          

  Ahora se igualan entre si los dos valores de x que hemos obtenido:

                                                   

  y ya tenemos una sola ecuación con una incógnita, hemos eliminado la x. Resolviendo esta

  ecuación:                                           

  Sustituyendo este valor de Y en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1)

  (generalmente sé sustituye en la mas sencilla), se tiene:       

                                               

  VERIFICACION         

  Sustituyendo x=3. y =-2 en las dos ecuaciones dadas, ambas se convierten en identidad.

  II. ELIMINACION POR SUSTITUCION     

        Resolver el sistema                

  Despejamos una de las incógnitas, por ejemplo, en una de las ecuaciones. vamos a 

  despejaría en la ecuación (1). tendremos:

                                                       

  Este valor de x se sustituye en la ecuación (2)

                                                 

  y ya tenemos una ecuación con una incógnita; hemos eliminado la x 

  resolvamos esta ecuación. simplificado 8 y 2 queda:

                                                 

  Sustituyendo y=-5 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) se tiene:

                                                          

  VERIFICACION

  Haciendo   en las dos ecuaciones dadas, ambas se convierten en identidad.

  III. METODO DE REDUCCION

    Resolver el sistema 

  En este método se hacen iguales los coeficientes de una de las incógnitas. 

  Vamos a igualar los coeficientes de y en ambas ecuaciones, por que es lo mas sencillo.

  El m. c. m. de los coeficientes de y, 6 y 3, es 6. Multiplicamos la segunda ecuación

  por 2 por que 2 x 3 =6, y tendremos:

                                                              

  Como los coeficientes de y que hemos igualado tienen signos

  distintos, se suman estas ecuaciones por que con ello se                  

  elimina la y:                                                        

  Sustituyendo x=-2 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) se tiene:

                                               

     Resolver el sistema      

  Vamos a igualar los coeficientes de x. El m. c. m. de 10 y 8 es 40; multiplico la primera

  ecuación por 4 por que 4x10=40 y la segunda por 5 por que 5x8=40 y tendremos:

                                            

  Como los coeficientes que hemos igualado tienen signos iguales, se restan ambas

  ecuaciones y de ese modo se elimina la x. cambiando los signos a una cualquiera de ellas, 

  por ejemplo a la segunda, tenemos:                                 

  Sustituyendo      en (2), tenemos     

                                                           

  CAPITULO XXV. ECUACIONES SIMULTANEAS DE PRIMER GRADO CON TRES INCOGNITAS. Baldor, 2015.

  ECUACIONES SIMULTANEAS DE PRIMER GRADO CON TRES O MAS INCOGNITA

  RESOLUCION DE UN SISTEMA DE TRES ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS 
  

  Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se procede de este modo:

  1) Se combinan dos de las ecuaciones dadas y se elimina una de las incógnitas (lo mas

  sencillo es eliminarla por suma o resta) y con ello se obtiene una ecuación con dos

  incógnitas.

  2) Se combina la tercera ecuación con cualquiera de las otras dos ecuaciones dadas y se 

  elimina entre ellas la misma incógnita que se elimino antes, obteniéndose otra ecuación 

  con dos incógnitas.

  3) Se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones con dos incógnitas que se han 

  obtenido, hallando de este modo dos de las incógnitas.

  4) Los valores de las incógnitas obtenidos se sustituyen en una de las ecuaciones dadas de 

  tres incógnitas, con lo cual se halla la tercera incógnita.

  1) Resolver el sistema       

  Combinamos las ecuaciones (1) y (2) y vamos a eliminar la x. Multiplicando la ecuación

  (1) por (2), se tiene:        Restando       

  Combinamos la tercera ecuación (3) con cualquiera de las otras dos ecuaciones dadas 

  vamos a combinarla con (1) para eliminar la x. Multiplicando (1) por 3 tenemos:

  Restando: dividiendo entre 2:               

  Ahora tomamos las dos ecuaciones con dos incógnitas que hemos obtenido(4) y (5), y 

  formamos un sistema:                                 

  Resolvamos este sistema. Vamos a eliminar la z multiplicando (4)por 2 y (5) por 5:

                                                                       

  Sustituyendo y=2 en (5) se tiene:        

                                                             

  Sustituyendo y=2, z=3 en cualquiera de las tres ecuaciones dadas, por ejemplo en (1).

  se tiene:              

   

  VERIFICACION

  Los valores x=1, y =2. z=3 tienen que satisfacer las tres ecuaciones dadas.

  Hágase la sustitución y se vera que las tres ecuaciones dadas se convierten en 

  identidad.

  EMPLEO DE DETERMINANTES EN LA RESOLUCION DE UN SISTEMA 

  DE TRES ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS

  DETERMINANTE DE TERCER ORDEN

  Un determinante como       

                                                                   

  Que consta de tres filas y tres columnas, es un determinante de tercer orden .

  HALLAR EL VALOR DE UN DETERMINANTE DE TERCER ORDEN 

  El modo mas sencillo y que creemos al alcance de los alumnos, de hallar el valor de un 

  determinante de tercer orden es aplicando la regla de sarrus. Explicaremos esta sencilla regla 

  practica con dos ejemplos.

  1) Resolver 

  Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos

  primeras filas horizontales y tenemos:

  

  Ahora se multiplican entre si los tres números por los que pasa cada diagonal.

  Los productos de los números que hay en las diagonales trazadas de izquierda a derecha 

  se escriben con su propio signo y los productos de los números que hay en las diagonales 

  trazadas de derecha a izquierda con el signo cambiado. Así en este caso tenemos:

                                                6-2-10+30+1-24=-9

  Valor del determinante dado

  DETALLE DE LOS PRODUCTOS 

  De izquierda a derecha 

  1x2x3=6   (-4)x(-1)x(-3)=-12   5 x (-2) x 1=-10

  De derecha a izquierda

                                       (-3) x 2 x 5=-30 cambiándole el signo +30

                                       1 x (-1) x 1=-1 cambiándole el signo +1

                                      3 x (-2) x (-4)=24 cambiándole el signo -24

  2) Resolver por sarrus                 

  Aplicando el procedimiento explicado, tenemos:

  

  Ejemplo:

   Resolver por determinantes       

  Tendremos:                            X=  =

                                                 Y=   = 

                                                  Z=   = 

  CAPITULO XXXIII. ECUACINES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA. Baldor,2015. 

  DEDUCCION DE LA FORMULA PARA RESOLVER 

  LA ECUACION GENERAL  DE SEGUNDO GRADO ax²+bx+c=0 
  

   

  La ecuación es   _________________________ ax² +bx+c=0

       multiplicando por 4a_________________________________ 4a²x²+4abx+4ac=0

       sumando b² a los dos miembros:____________________ 4a²x²+4abx+4ac+b²=b²

       pasando ac al 2° miembro ___________________________4a²x²+4abx+b²=b²-4ac

       Descomponiendo el primer miembro, que es 

       un trinomio cuadrado perfecto:_______________________ (2ax+b)² = b²-4ac

       Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros_________ 

       Transponiendo b______________________________________________

       Despejando x:_________________________________________________ 

  Formula que nos da las dos raíces de la ecuación ax²+bx+c=0(por que de esta formula 

  salen dos valores de x según se tome  con signo +0-) en función de a, coeficiente

  del termino en x² en la ecuación, b coeficiente del termino en x y c el termino independiente.

  Obsérvese que en la formula aparece el coeficiente del segundo termino de la ecuación b con 

  signo distinto al que tiene la ecuación.

  ejemplo: 

  1) Resolver la ecuación 3x² -7x+2=0

  Aplicamos la formula      

  Aquí a=3, b=-7, c=2, luego sustituyendo y teniendo presente que al substituir b

  se pone con signo cambiado, tendremos:

                   

              ENTONCES:               

  2 Y son las raíces de la ecuación dada y ambas anulan la ecuación.

  Sustituyendo x por 2 en la ecuación dada 3x²-7x+2=0, se tiene:

                                             3(2²)-7(2)+2=12-14+2=0
  

  sustituyendo x por : 

  2) Resolver la ecuación 6x-x²-9=0.

  ordenando y cambiando signos:x²-6x+9=0.

  vamos a aplicar la formula teniendo presente que a, coeficiente de x² es 1:

                 

  Entonces x tiene un solo valor 3: las dos raíces son iguales:

                                                                                          x,=x₂=3  R. 

  CAPITULO 11. RELACIONES METRICAS EN LOS TRIANGULOS. Baldor, 2004.

  154. TEOREMA 39 "Teorema de Pitágoras. En todo triangulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa 

  es igual a la suma de los cuadrados de la longitudes de los catetos".  

         

  hipótesis: ABC(Fig.129) es rectángulo en A.

  BC= a es la hipotenusa .

  

  tesis: a²=b²+c^2.

  Construcción auxiliar. tracemos la altura AD=h. correspondiente a

  la hipotenusa.

  DEMOSTRACION:        

  Despejando los catetos:

  

  Sumando (1) y (2). tenemos:

      

  ∴ 

  pero: 

  Sustituyendo (3) en (4):

  ∴ b²+c²=a (a)

      b²+c²=a²                efectuando operaciones

  155. COROLARIO 1. "En todo triangulo rectángulo, la hipotenusa es

  igual a la raíz cuadrada de la suba de los cuadrados de los catetos."

  De la igualdad

  a²=b²+c²;

  despejando los catetos:                  

  

  b²=a²-c²;

  extrayendo la raíz cuadrada:    

  

  CAPITULO 22. TRIGONOMETRIA. Baldor, 2004.

  FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN AGULO AGUDO

  EN UN TRIANGULO RECTANGULO. consideramos un triangulo rectángulo 

   ABC. Las llamadas funciones o razones trigonométricas

  de los ángulos agudos  son los siguientes.

  seno. es la razón entre el cateto opuesto a la hipotenusa.

  notación. Seno del ángulo B se escribe sen B.

  

  COCENO: Es la razón entre el cateto adyacente    

  y la hipotenusa. Se abrevia, cos.                        

                              

  TANGENTE. Es la razón entre el cateto opuesto y el

  cateto adyacente. Se abrevia tan. 

                                 

  COTANGENTE. Es la razón entre el cateto adyacente y el 

  cateto opuesto. Se abrevia cot.

                                  

  SECANTE. Es la razón entre la hipotenusa y el cateto 

  adyacente. Se abrevia sec.

                                 

  COSECANTE. Es la razón entre la hipotenusa 

  y el cateto opuesto. Se abrevia csc.

  

  Ejemplo. Dado un triangulo rectángulo cuyos

  catetos miden 6 y 8 cm. calcular las funciones trigonométricas            

  del ángulo agudo mayor por medio del teorema de Pitágoras,

  calculamos la hipotenusa:

  

  

  Sabemos que el ángulo agudo mayor es el ángulo B

  por que a mayor lado se opone mayor ángulo:

  

  FUNCIONES Y CONFUCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN 

  ANGULO CUALQUIERA. Consideramos los ángulos a, b, y  Y e que 

  en un sistema de coordenadas tienen su lado terminal en el 1°, 2°, 

  3° y 4° cuadrantes respectivamente.

  Tomemos un punto en el lado terminal y consideremos

  sus coordenadas y su distancia al origen.

  Las funciones trigonométricas se definen así:

  SENO. Es la razón entre la ordenada y la distancia al origen. 

  

  COSENO. Es la razón entre la abscisa y la distancia al origen.

  

  TANGENTE. Es la razón entre la ordenada y la abscisa.

  
  

  COTANGENTE. Es la razón entre la abscisa y la ordenada.
  

  

  SECANTE. Es la razón entre la distancia y la abscisa.

  

  COSECANTE. Es la razón entre la distancia y la ordenada.

  

  BIBLIOGRAFÍA

  Baldor, A. (2015). Álgebra (2ª. ed.). Patria.
  Baldor, A. (2004). Geometría plana y del espacio y Trigonometría. Compañía Cultural Editora y
  Distribuidora de Textos Americanos, S.A.

             

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